UP Board Important Questions

Class – 12th

Subject – Mathematics (Functions, Limit & Continuity)

1. यदि f(x) = log{(1+x)/(1-x)} , तो सिद्ध कीजिये कि :-

                                  f[2x/(1+x²)] = 2f(x).

Solution:     f(x) = log{(1+x)/(1-x)}

                      let, x= 2x/(1+x²)

           f[2x/(1+x²)] = log[{1+2x/(1+x²)}/{1-2x/(1+x²)}]

                              = log [(1+x²+2x)/(1+x²-2x)]

                              = log [{(1+x)/(1-x)}²]

                              = 2log [{(1+x)/(1-x)}]

                              = 2 f(x) Proved

2. यदि f(x) = 5x² + 8x + 7 , तो f(-9) का मान ज्ञात कीजिये |

3. यदि f(x) = log_ex , तो दिखाइए f(x) + f(y) + f(z) = f(xyz).

4. यदि f(x) = log_e{(1-x)/(1+x)} , तो सिद्ध कीजिये कि :-

               f(a) + f(b) = f{(a+b)/(1+ab)}

5. यदि f(x) = x/(x-1) , तो {f(a/b)}/{f(b/a)} का मान ज्ञात कीजिये |

6. यदि f(x) = x² + (1/x²) , तो f(-1) तथा f(1/x) का मान ज्ञात कीजिये |

7. वक्र y = x² – 2x  का लेखाचित्र खीचिए |

8. lim_x→a {(x³-a³)/(x-a)} का मान ज्ञात कीजिये |

9. lim_x→0[{log_e(1+x)-x}/x²] का मान ज्ञात कीजिये |

10. lim_x→π/4[(sinx – cosx)/(x – π/4)] का मान ज्ञात कीजिये |

11. lim_x→1[logx/(1-x)] का मान ज्ञात कीजिये |

12. lim_x→0[(e^x – e^-x)/x]  का मान ज्ञात कीजिये |

Solution:       lim_x→0[(e^x – e^-x)/x]

                   = lim_x→0 (1/x)[(1+x+x²/2!+x³/3!+........)-(1-x+x²/2!-x³/3!+.........)]

                   = lim_x→0 (1/x)[2(x+x³/3!+........)]

                   = lim_x→0 [2(1+x²/3!+........)] x≠0

                   = 2 Ans.

13. lim_x→0(sinax/sinbx) का मान ज्ञात कीजिये |

14. सिद्ध कीजिये की lim_x→0[(tanx - sinx)/x³] = ½.

15. lim_x→0(1/x)log_e(1+x) का मान ज्ञात कीजिये |

16. lim_x→0[(1 - cosx)x²] का मान ज्ञात कीजिये |

17. दिखाइये कि फलन f(x) = |x|, x = 0 पर असंतत है|

18. यदि f(x) = { (x-4) , when x≥5; & (5x-24), when x<5; तो दिखाइये कि f(x), x=5 पर संतत फलन है|